Muốn tìm được nguyên hàm của hàm chứa căn thức thì bạn cần xem lại các công thức nguyên hàm đã học từ bài trước. Một khi đã hiểu và nhớ được các công thức thì bạn mới xem bài viết dưới đây:

1. Tổng quan về nguyên hàm chứa căn thức

Nguyên hàm là gì?

Nguyên hàm của một hàm số $f(x)$ là hàm $F(x)$ sao cho đạo hàm của nó bằng $f(x)$, tức là:

$F'(x) = f(x)$

Khi đó ta ký hiệu:

$\int f(x)dx = F(x) + C$

với $C$ là hằng số tùy ý.

Trong nhiều bài toán, đặc biệt là khi biểu thức có căn thức, việc tìm nguyên hàm đòi hỏi những kỹ thuật biến đổi đặc biệt để khử căn.

Vì sao hàm chứa căn thường khó hơn?

Hàm có căn như $\sqrt{x^2 + a^2}$ hay $\sqrt{a^2 – x^2}$ không thể giải trực tiếp bằng công thức luỹ thừa thông thường.

Khi đó, ta cần sử dụng:

• Phép đổi biến (ví dụ: đặt $t^2 = ax + b$)
• Lượng giác hóa (đặt $x = a\sin t$ hoặc $x = a\tan t$)
• Nhân – chia biểu thức liên hợp để khử căn ở mẫu.

2. Nguyên hàm của hàm chứa căn thức

Phần này chia làm 2 phần: hàm cơ bản và hàm hợp

Nguyên hàm căn thức của hàm số cơ bản

Hàm cơ bản ứng với nguyên hàm có tổng cộng 10 công thức cần nhớ:

Nguyên hàm của hàm chứa căn thức là hàm số hợp \( u = u(x) \)

Tương ứng với 10 nguyên hàm căn bản là 10 nguyên hàm của hàm hợp:

3. Các dạng nguyên hàm chứa căn thức thường gặp

Dưới đây là các dạng bài quan trọng học sinh cần nắm.

Dạng 1: $\int \sqrt{x}dx$ và $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Áp dụng công thức nguyên hàm của luỹ thừa:

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$

• Với $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ $\Rightarrow \int \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$
• Với $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ $\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x} + C$

Dạng 2: $\int \sqrt{ax + b}dx$

Đặt $t = \sqrt{ax + b} \Rightarrow t^2 = ax + b \Rightarrow dx = \frac{2t}{a}dt$.

Khi đó: $\int {\sqrt {ax + b} } dx$ $ = \int t \cdot \frac{{2t}}{a}dt$ $ = \frac{2}{a}\int {{t^2}} dt$ $ = \frac{2}{{3a}}{t^3} + C = \frac{2}{{3a}}{(ax + b)^{3/2}} + C$

Dạng 3: $\int \frac{dx}{\sqrt{ax + b}}$

Đặt $t^2 = ax + b \Rightarrow dx = \frac{2t}{a}dt$

Suy ra: $\int \frac{dx}{\sqrt{ax + b}} = \frac{2}{a}\int dt = \frac{2}{a}\sqrt{ax + b} + C$

Dạng 4: $\int \sqrt{a^2 – x^2}dx$

Đặt $x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt$

Ta có:

$\sqrt{a^2 – x^2} = \sqrt{a^2(1 – \sin^2 t)} = a\cos t$

Suy ra: $\int {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx$ $ = \int a \cos t \cdot a\cos tdt$ $ = {a^2}\int {{{\cos }^2}} tdt$

Áp dụng công thức lượng giác $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$:

${a^2}\int {{{\cos }^2}} tdt$ $ = \frac{{{a^2}}}{2}\int {(1 + \cos 2t)} dt$ $ = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right) + C$

Đổi ngược biến: $t = \arcsin{\frac{x}{a}}$ và $\sin 2t = 2\sin t\cos t = \frac{2x\sqrt{a^2 – x^2}}{a^2}$

Kết quả cuối cùng: $\int {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{a^2} – {x^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a} + C$

Dạng 5: $\int \sqrt{x^2 + a^2}dx$

Đặt $x = a\tan t \Rightarrow dx = a\sec^2 tdt$

Khi đó $\sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$

Suy ra: $\int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} } dx$ $ = \int a \sec t \cdot a{\sec ^2}tdt$ $ = {a^2}\int {{{\sec }^3}} tdt$

Ta có công thức: $\int \sec^3 tdt = \frac{1}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|) + C$

Suy ra: $\int \sqrt{x^2 + a^2}dx = \frac{a^2}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|) + C$

Đổi ngược biến:

$\tan t = \frac{x}{a}, \quad \sec t = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}$

Kết quả: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + 4}| + C$

Dạng 6: $\int \sqrt{x^2 – a^2}dx$

Đặt $x = a\sec t \Rightarrow dx = a\sec t\tan tdt$

$\sqrt{x^2 – a^2} = a\tan t$

Suy ra:

$\int \sqrt{x^2 – a^2}dx = a^2\int \sec t\tan^2 tdt$

Biến đổi: $\tan^2 t = \sec^2 t – 1$

$ \Rightarrow {a^2}\int {({{\sec }^3}t – \sec t)} dt$ $ = {a^2}\left[ {\frac{1}{2}(\sec t\tan t + \ln |\sec t + \tan t|) – \ln |\sec t + \tan t|} \right] + C$

Sau rút gọn, kết quả:

$\int {\sqrt {{x^2} – {a^2}} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} – {a^2}} – \frac{{{a^2}}}{2}\ln |x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} | + C$

4. Phương pháp giải nguyên hàm có căn

4.1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Dùng khi căn có dạng $\sqrt{ax + b}$ hoặc $\sqrt{x^2 + bx + c}$.

Bước làm:

1. Đặt $t = \sqrt{ax + b}$
2. Biến đổi để tìm $dx$
3. Thay vào và rút gọn để được nguyên hàm theo $t$.

4.2. Phương pháp lượng giác hóa

Khi gặp căn có bình phương trừ hoặc cộng:

• $\sqrt{a^2 – x^2} \Rightarrow x = a\sin t$
• $\sqrt{a^2 + x^2} \Rightarrow x = a\tan t$
• $\sqrt{x^2 – a^2} \Rightarrow x = a\sec t$

Ưu điểm: khử căn hoàn toàn và biến đổi về hàm lượng giác đơn giản.

4.3. Phương pháp nhân biểu thức liên hợp

Áp dụng khi biểu thức có căn ở mẫu.

Ví dụ: $\int \frac{dx}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

Ta nhân tử và mẫu với $x – \sqrt{x^2 + 1}$ để khử căn, sau đó tách thành dạng dễ tính.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\int \sqrt{2x + 3}dx$

Giải

Đặt $t^2 = 2x + 3 \Rightarrow dx = \frac{2t}{2}dt = tdt$

Khi đó: $\int {\sqrt {2x + 3} } dx$ $ = \int t \cdot tdt$ $ = \int {{t^2}} dt$ $ = \frac{{{t^3}}}{3} + C$ $ = \frac{{{{(2x + 3)}^{3/2}}}}{3} + C$

Ví dụ 2: Tính $\int \sqrt{9 – x^2}dx$

Áp dụng công thức dạng 4:

$\int \sqrt{a^2 – x^2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 – x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$

Suy ra:

$\int \sqrt{9 – x^2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{9 – x^2} + \frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} + C$

Ví dụ 3: Tính $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}}$

Đặt $x = 2\tan t \Rightarrow dx = 2\sec^2 tdt$

Khi đó: $\sqrt {{x^2} + 4} = 2\sec t$ $ \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} $ $ = \int {\frac{{2{{\sec }^2}t}}{{2\sec t}}} dt$ $ = \int {\sec } tdt = \ln |\sec t + \tan t| + C$

Đổi biến: $\tan t = \frac{x}{2}, \quad \sec t = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}$

Kết quả:

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} $ $ = \ln |x + \sqrt {{x^2} + 4} | + C$

6 Bài tập

Bài tập 1. Tìm nguyên hàm các hàm số chứa căn thức sau: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$

Lời giải

Ta biến đổi: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

$ = \int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

$ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$

Bài tập 1. Hãy tìm nguyên hàm sau $\int {\left( {\sqrt x – 2\sqrt[4]{x}} \right)} (x – \sqrt x + \sqrt[4]{x})dx$

Lời giải

Bài tập 3. Tìm nguyên hàm các hàm số chứa căn thức sau: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}.$

Lời giải

Bài tập 4. Tìm nguyên hàm của sau: $\int \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 dx $

Lời giải

Ta có: $\int \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 dx $

Bài tập 5. Cho hàm số chứa dấu căn: $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Hãy tìm nguyên hàm của hàm số này.

Lời giải

7. FAQs