Vào đầu học kì II của lớp 12, các em học sinh sẽ được học nguyên hàm. Trong chương này, các em sẽ làm quen những khái niệm, công thức nguyên hàm. Muốn giải nhanh các bài tập nguyên hàm thì việc nhớ chính xác mỗi công thức nguyên hàm là điều cần thiết, kế nữa em phải biết sử dụng công thức nào cho kết quả chính xác và nhanh. Do đó, DienTich.Net đã dày công biên soạn không chỉ các công thức nguyên hàm toán lớp 12 mà còn nhiều bài tập có lời giải chi tiết

1. Bảng công thức nguyên hàm

a) Công thức cơ bản

Phần cơ bản này gồm 12 công thức nguyên hàm được sắp xếp thành bảng dưới đây:

b) Nguyên hàm mũ

Với nguyên hàm của hàm mũ được chia làm 8 công thức thuộc 2 chủ đề:

• Hàm mũ e
• Hàm mũ

c) Nguyên hàm lượng giác

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác này có 12 công thức thường xuyên gặp:

d) Công thức nguyên hàm căn thức

Nguyên hàm của căn thức trước giờ vẫn coi là khó nên DienTich.Net đã tuyển chọn những công thức thường gặp, sau đó sắp xếp từ căn bản tới nâng cao

2. Bài tập nguyên hàm

a) Bài tập có lời giải

Câu 1. Hãy tìm nguyên hàm $\int {\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}dx} $

A.$\frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {2 – x} \right| + C$.

B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {2 – x} \right| + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} – \ln \left| {2 – x} \right| + C$.

D. $\frac{{{x^3}}}{3} + \ln \left| {x – 2} \right| + C$.

Lời giải

Chọn A

Vì $\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}$$ = \frac{{{x^3} – 5x – 2}}{{{x^2} – 4}}$$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x – 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}$$ = x – \frac{1}{{x – 2}}$

$ = \int {\left( {x – \frac{1}{{x – 2}}} \right){\text{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {x – 2} \right| + C$. $ \Rightarrow \int {\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}{\text{d}}x} $$ = \int {\left( {x – \frac{1}{{x – 2}}} \right){\text{d}}x} $$ = \frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {x – 2} \right| + C$

Câu 2. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}$ thỏa mãn $f’\left( 1 \right) = 0;{\text{ }}f\left( 1 \right) = 4;{\text{ }}f\left( { – 1} \right) = 2$

A. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x} – \frac{5}{2}$.

B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$.

C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$.

D. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} – \frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn B

Vì $f’\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Ta lại có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\text{d}}x} $$ = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} $$ = \frac{{a{x^2}}}{2} – \frac{b}{x} + C$

Vì $f\left( 1 \right) = 4$$ \Leftrightarrow \frac{a}{2} – b + C = 4$$ \Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8{\text{ }}\left( 2 \right)$

và $f\left( { – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + b + C = 2 \Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4{\text{ }}\left( 3 \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} a + b = 0\\ a – 2b + 2C = 8\\ a + 2b + 2C = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = – 1\\ c = \frac{5}{2} \end{array} \right.$

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$

Câu 3. Giá trị $m,n$ để hàm số $F\left( x \right) = \left( {2m + n} \right){x^3} + \left( {3m – 2n} \right){x^2} – 4x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 10x – 4$. Khi đó $8m – 2n$ là:

A. $6$.

B. $12$.

C. $10$.

D. $ – 2$.

Lời giải

Chọn C

$\int {\left( {3{x^2} + 10x – 4} \right)dx = {x^3} + 5{x^2} – 4x + C} $

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l} 2m + n = 1\\ 3m – 2n = 5\\ C = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 1\\ n = – 1\\ C = 0 \end{array} \right.$ nên $8m – 2n = 10$.

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}$.

A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.

B. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.

C. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x + \cos x} + C$.

D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x + 2\cos x + C} $.

Lời giải

Chọn B

$\int {\left( {\frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{2\sin x.{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{2\sin x\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 + \cos x}}} \right)} dx$ $ = 2\int {\sin x\left( {1 – \cos x} \right)dx} $ $ = \int {2\left( {\cos x – 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} $$ = {\cos ^2}x – 2\cos x + C$

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^5}x}}$.

A. $\int {f(x).dx = } \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$.

B. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^4}x}}{4} + C$.

C. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^2}x}}{2} + C$.

D. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C$.

Lời giải

Chọn A

$\int {\frac{{{{\cos }^3}xdx}}{{{{\sin }^5}x}}} $ $ = \int {{{\cot }^3}x.\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $ $ = – \int {{{\cot }^3}x.d\left( {\cot x} \right)} $ $ = \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)$.

A. $\int {f(x).dx = } \sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$

B. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$.

C. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$.

D. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$.

Lời giải

Chọn C

$\int {\cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} $ $ = \int {\cos 2x\left[ {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right]dx} $

$ = \int {\cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)dx} $ $ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{2}\int {{{\sin }^2}2x.\cos 2xdx} $ $ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{4}\int {{{\sin }^2}2x.d\left( {\sin 2x} \right)} $ $ = \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos x$.

A. $\int {f(x)dx = } – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.

B. $\int {f(x)dx = } \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.

C. $\int {f(x)dx = } – \cos x + {e^{2\sin x}} + C$.

D. $\int {f(x)dx = } – \cos x – \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.

Lời giải

Chọn A

$\int {\left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos xdx} $ $ = \int {\sin xdx} + \int {{e^{2\sin x}}d\left( {\sin x} \right)} $ $ = – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$

b) Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tự luyện

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} – 9.$

A. $\frac{1}{2}{x^4} – 9x + C.$

B. $4{x^4} – 9x + C.$

C. $\frac{1}{4}{x^4} + C.$

D. $4{x^3} + 9x + C.$

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} – \frac{1}{3}$.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} – 5\ln \left| x \right| – \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$

B. $\frac{{{x^3}}}{3} – 5\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$

C. $2{x^3} – 5\ln \left| x \right| – \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$

D. $2x – \frac{5}{{{x^2}}} + \frac{{3x}}{{{x^4}}} + C$

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}$ là:

A. $ – \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$

B. $ – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} – \frac{x}{3} + C$

C. $\frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$

D. $ – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} + C$

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$

A. $F\left( x \right) = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{4} + C$

B. $F\left( x \right) = \frac{{3x\sqrt[3]{x}}}{4} + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{{4x}}{{3\sqrt[3]{x}}} + C$

D. $F\left( x \right) = \frac{{4x}}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C$

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x\sqrt x }}$

A. $F\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + C$

B. $F\left( x \right) = – \frac{2}{{\sqrt x }} + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{2} + C$

D. $F\left( x \right) = – \frac{{\sqrt x }}{2} + C$

Trên đây là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bản tới nâng cao. Muốn làm tốt bài tập hay rút gọn biểu thức thì việc học thuộc lòng những công thức trong bảng trên là cần thiết. Khi nhớ chính xác mỗi công thức, vận dụng nó một cách thuần thục thì giải bài tập trở lên nhanh, cho kết quả chính xác. Nguyên hàm là kiến thức bắt đầu học ở lớp 12, còn mới lạ, nhiều công thức, bài tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu bạn chăm học, xem kĩ bài viết này và thường xuyên xem lại các công thức thì nó sẽ trở lên đơn giản.