Vào đầu học kì II của lớp 12, các em học sinh sẽ được học nguyên hàm. Trong chương này, các em sẽ làm quen những khái niệm, công thức nguyên hàm. Muốn giải nhanh các bài tập nguyên hàm thì việc nhớ chính xác mỗi công thức nguyên hàm là điều cần thiết, kế nữa em phải biết sử dụng công thức nào cho kết quả chính xác và nhanh. Do đó, luyenthi.org đã dày công biên soạn không chỉ các công thức nguyên hàm toán lớp 12 mà còn nhiều bài tập có lời giải chi tiết
1. Bảng công thức nguyên hàm
a) Công thức cơ bản
Phần cơ bản này gồm 12 công thức nguyên hàm được sắp xếp thành bảng dưới đây:
b) Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm mũ được chia làm 8 công thức thuộc 2 chủ đề:
- Hàm mũ e
- Hàm mũ
c) Nguyên hàm lượng giác
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác này có 12 công thức thường xuyên gặp:
d) Công thức nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước giờ vẫn coi là khó nên luyenthi.org đã tuyển chọn những công thức thường gặp, sau đó sắp xếp từ căn bản tới nâng cao
2. Bài tập nguyên hàm
a) Bài tập tự luận lời giải
Bài tập 1 (trích CTST toán 12)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Đề bài
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).
Lời giải
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = – \cot x + C\),
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( – \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = – \cot x + 1\) là hàm số cần tìm.
Bài tập 2 (trích CD toán 12)
Hàm số (F(x) = {x^3} + 5) là nguyên hàm của hàm số: A. (f(x) = 3{x^2}) B. (f(x) = frac{{{x^4}}}{4} + 5x + C) C. (f(x) = frac{{{x^4}}}{4} + 5x) D. (f(x) = 3{x^2} + 5x)
Đề bài
Hàm số \(F(x) = {x^3} + 5\) là nguyên hàm của hàm số:
A. \(f(x) = 3{x^2}\)
B. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x + C\)
C. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x\)
D. \(f(x) = 3{x^2} + 5x\)
Lời giải
\(F'(x) = 3{x^2}\)
Vậy F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2}\)
Chọn A
Bài tập 3 (trích KNTT toán 12)
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) \(F\left( x \right) = x\ln x\) và \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
b) \(F\left( x \right) = {e^{\sin x}}\) và \(f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
a) Ta có: \(F’\left( x \right) = \left( {x\ln x} \right)’ = \ln x + \frac{x}{x} = \ln x + 1\). Do đó, \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Ta có: \(F’\left( x \right) = \left( {{e^{\sin x}}} \right)’ = \cos x.{e^{\sin x}}\).
Hàm số F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) vì \(F’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \ne 1 = f\left( 1 \right)\)
Bài tập 4 (trích CTST toán 12)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 1\);
b) \(f\left( x \right) = {x^3} – x\);
c) \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}\);
d) \(f\left( x \right) = {\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^2}\).
Lời giải
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 2x – 1} \right)} dx = 3\int {{x^2}} dx + 2\int x dx – \int 1 dx = {x^3} + {x^2} – x + C\)
b) \(\int {\left( {{x^3} – x} \right)} dx = \int {{x^3}} dx – \int x dx = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
c) \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)} dx = 4\int {{x^2}} dx + 4\int x dx + \int 1 dx = \frac{{4{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x + C\)
d) \(\int {{{\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4{x^2} – 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = 4\int {{x^2}} dx + \int {{x^{ – 2}}} dx – 4\int 1 dx = \frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} – 4x + C\)
Bài tập 5 (trích CTST toán 12)
Tìm:
a) \(\int {\left( {2\cos x – \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\);
b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx\);
c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\);
d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\).
Lời giải
a) \(\int {\left( {2\cos x – \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos x} dx – 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 2\sin x + 3\cot x + C\)
b) Từ công thức nhân đôi \(\cos 2x = 1 – 2{\sin ^2}x\), áp dụng vào bài ta có:
\(\cos x = 1 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 – \cos x \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 2(1 – \cos x)\)
Từ đó suy ra:
\(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 – \cos x} \right)} dx = 2\int {dx – 2\int {\cos x} dx = 2x – 2\sin x + C} \)
c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} – 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {1 – \sin x} \right)} dx\)
\( = \int {dx} – \int {\sin x} dx = x + \cos x + C\)
d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx = \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x – x + C\)
Bài tập 6 (trích CTST toán 12)
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức \(h'(t) = 1,5t + 5\), trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm). Cây con khi được trồng cao 12cm
a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm
b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu cm?
Lời giải
a) \(\int {h'(t)} dt = \int {\left( {1,5t + 5} \right)} dt = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \(0,75{t^2} + 5t + C\)
b) Đặt \(H(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Tại t = 0 thì H(0) = 12 suy ra C = 12
Khi được bán, tức là sau 6 năm thì cây cao: \(H(6) = 0,{75.6^2} + 5.6 + 12 = 69cm\)
Bài tập 7 (trích CTST toán 12)
Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi \(m(t)\) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \(M'(t) = m(t)\)
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
\(m(t) = 800 – 2t\)
trong đó t tính theo ngày (\(0 \le t \le 400\)), \(m(t)\) tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành)
Lời giải
\(\int {m(t)} dt = \int {\left( {800 – 2t} \right)} dt = 800t – {t^2} + C\)
Tại t = 0 thì \(M(t) = 0 \Leftrightarrow C = 0\)
Vậy \(M(t) = 800t – {t^2}\)
Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là: \(M(400) = 800.400 – {400^2} = 160000\)(ngày)
Chi phí nhân công lao động của công trình đó là: 160000.400000 = 64 tỷ VND
Bài tập 8 (trích CTST toán 12)
Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h’\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm). a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\). b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
Đề bài
Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h’\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).
a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
Lời giải
a) Chiều cao của cây sau \(x\) năm là
\(h\left( x \right) = \int {h’\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C\) (do \(1 \le x \le 11\)).
Sau năm đầu tiên, cây cao 2 m, do đó ta có \(h\left( 1 \right) = 2\).
Suy ra \(\ln 1 + C = 2 \Rightarrow 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2\).
Vậy chiều cao của cây sau \(x\) năm là \(h\left( x \right) = \ln x + 2\) (m).
b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình \(h\left( x \right) = 3\).
Ta có \(h\left( x \right) = 3 \Rightarrow \ln x + 2 = 3 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e \approx 2,72\).
Vậy sau khoảng \(2,72\) năm thì cây cao 3 m.
Bài tập 9 (trích CTST toán 12)
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Lời giải
Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường xe đi được sau \(t\) giây kể từ khi tăng tốc, \(v\left( t \right)\) (m/s) là vận tốc của xe sau \(t\) giây kể từ khi tăng tốc.
Do xe tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\), nên vận tốc của xe sẽ là \(v\left( t \right) = {v_0} + at = 10 + 2t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Quãng đường xe đi được kể từ khi tăng tốc là
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {10 + 2t} \right)dt} = 10\int {dt} + 2\int {tdt} = 10t + 2\frac{{{t^2}}}{2} + C = 10t + {t^2} + C\)
Do tại \(t = 0\) thì xe mới bắt đầu tăng tốc, nên ta có \(s\left( 0 \right) = 0\).
Suy ra \(10.0 + {0^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy quãng đường xe đi được sau \(t\) giây kể từ khi tăng tốc là \(s\left( t \right) = 10t + {t^2}\).
Quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi tăng tốc là \(s\left( 3 \right) = 10.3 + {3^2} = 39{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
b) Bài tập trắc nghiệm có lời giải
Câu 1. Hãy tìm nguyên hàm $\int {\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}dx} $
A.$\frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {2 – x} \right| + C$.
B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {2 – x} \right| + C$.
C. $\frac{{{x^3}}}{3} – \ln \left| {2 – x} \right| + C$.
D. $\frac{{{x^3}}}{3} + \ln \left| {x – 2} \right| + C$.
Lời giải
Chọn A
Vì $\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}$$ = \frac{{{x^3} – 5x – 2}}{{{x^2} – 4}}$$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x – 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}$$ = x – \frac{1}{{x – 2}}$
$ = \int {\left( {x – \frac{1}{{x – 2}}} \right){\text{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {x – 2} \right| + C$. $ \Rightarrow \int {\frac{{ – {x^3} + 5x + 2}}{{4 – {x^2}}}{\text{d}}x} $$ = \int {\left( {x – \frac{1}{{x – 2}}} \right){\text{d}}x} $$ = \frac{{{x^2}}}{2} – \ln \left| {x – 2} \right| + C$
Câu 2. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}$ thỏa mãn $f’\left( 1 \right) = 0;{\text{ }}f\left( 1 \right) = 4;{\text{ }}f\left( { – 1} \right) = 2$
A. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x} – \frac{5}{2}$.
B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$.
C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$.
D. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} – \frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Vì $f’\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$
Ta lại có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\text{d}}x} $$ = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} $$ = \frac{{a{x^2}}}{2} – \frac{b}{x} + C$
Vì $f\left( 1 \right) = 4$$ \Leftrightarrow \frac{a}{2} – b + C = 4$$ \Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8{\text{ }}\left( 2 \right)$
và $f\left( { – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + b + C = 2 \Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4{\text{ }}\left( 3 \right)$
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} a + b = 0\\ a – 2b + 2C = 8\\ a + 2b + 2C = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = – 1\\ c = \frac{5}{2} \end{array} \right.$
Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}$
Câu 3. Giá trị $m,n$ để hàm số $F\left( x \right) = \left( {2m + n} \right){x^3} + \left( {3m – 2n} \right){x^2} – 4x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 10x – 4$. Khi đó $8m – 2n$ là:
A. $6$.
B. $12$.
C. $10$.
D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
$\int {\left( {3{x^2} + 10x – 4} \right)dx = {x^3} + 5{x^2} – 4x + C} $
Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l} 2m + n = 1\\ 3m – 2n = 5\\ C = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 1\\ n = – 1\\ C = 0 \end{array} \right.$ nên $8m – 2n = 10$.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}$.
A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.
B. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x – 2\cos x + C} $.
C. $\int {f(x)dx = {{\cos }^2}x + \cos x} + C$.
D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{2}{{\cos }^2}x + 2\cos x + C} $.
Lời giải
Chọn B
$\int {\left( {\frac{{2{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{2\sin x.{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{2\sin x\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 + \cos x}}} \right)} dx$ $ = 2\int {\sin x\left( {1 – \cos x} \right)dx} $ $ = \int {2\left( {\cos x – 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} $$ = {\cos ^2}x – 2\cos x + C$
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^5}x}}$.
A. $\int {f(x).dx = } \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$.
B. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^4}x}}{4} + C$.
C. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\cot }^2}x}}{2} + C$.
D. $\int {f(x).dx = } \frac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C$.
Lời giải
Chọn A
$\int {\frac{{{{\cos }^3}xdx}}{{{{\sin }^5}x}}} $ $ = \int {{{\cot }^3}x.\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $ $ = – \int {{{\cot }^3}x.d\left( {\cot x} \right)} $ $ = \frac{{ – {{\cot }^4}x}}{4} + C$
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)$.
A. $\int {f(x).dx = } \sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$
B. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$.
C. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$.
D. $\int {f(x).dx = } \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{4}{\sin ^3}2x + C$.
Lời giải
Chọn C
$\int {\cos 2x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} $ $ = \int {\cos 2x\left[ {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right]dx} $
$ = \int {\cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)dx} $ $ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{2}\int {{{\sin }^2}2x.\cos 2xdx} $ $ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{4}\int {{{\sin }^2}2x.d\left( {\sin 2x} \right)} $ $ = \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C$
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos x$.
A. $\int {f(x)dx = } – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.
B. $\int {f(x)dx = } \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.
C. $\int {f(x)dx = } – \cos x + {e^{2\sin x}} + C$.
D. $\int {f(x)dx = } – \cos x – \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$.
Lời giải
Chọn A
$\int {\left( {\tan x + {e^{2\sin x}}} \right)\cos xdx} $ $ = \int {\sin xdx} + \int {{e^{2\sin x}}d\left( {\sin x} \right)} $ $ = – \cos x + \frac{1}{2}{e^{2\sin x}} + C$
c) Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tự luyện
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} – 9.$
A. $\frac{1}{2}{x^4} – 9x + C.$
B. $4{x^4} – 9x + C.$
C. $\frac{1}{4}{x^4} + C.$
D. $4{x^3} + 9x + C.$
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} – \frac{1}{3}$.
A. $\frac{{{x^3}}}{3} – 5\ln \left| x \right| – \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$
B. $\frac{{{x^3}}}{3} – 5\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$
C. $2{x^3} – 5\ln \left| x \right| – \frac{3}{x} – \frac{1}{3}x + C$
D. $2x – \frac{5}{{{x^2}}} + \frac{{3x}}{{{x^4}}} + C$
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}$ là:
A. $ – \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$
B. $ – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} – \frac{x}{3} + C$
C. $\frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$
D. $ – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} + C$
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$
A. $F\left( x \right) = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{4} + C$
B. $F\left( x \right) = \frac{{3x\sqrt[3]{x}}}{4} + C$
C. $F\left( x \right) = \frac{{4x}}{{3\sqrt[3]{x}}} + C$
D. $F\left( x \right) = \frac{{4x}}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x\sqrt x }}$
A. $F\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + C$
B. $F\left( x \right) = – \frac{2}{{\sqrt x }} + C$
C. $F\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
D. $F\left( x \right) = – \frac{{\sqrt x }}{2} + C$
Trên đây là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bản tới nâng cao. Muốn làm tốt bài tập hay rút gọn biểu thức thì việc học thuộc lòng những công thức trong bảng trên là cần thiết. Khi nhớ chính xác mỗi công thức, vận dụng nó một cách thuần thục thì giải bài tập trở lên nhanh, cho kết quả chính xác. Nguyên hàm là kiến thức bắt đầu học ở lớp 12, còn mới lạ, nhiều công thức, bài tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu bạn chăm học, xem kĩ bài viết này và thường xuyên xem lại các công thức thì nó sẽ trở lên đơn giản.