Nguyên hàm của hàm số mũ và logarit là bài viết tiếp theo liên quan tới các công thức nguyên hàm cần phải nhớ trong giải tích, đóng vai trò nền tảng trong việc tính tích phân. Việc nắm vững các nguyên hàm cơ bản sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài tập liên quan.

1. Công thức nguyên hàm của hàm số mũ và logarit

Phần này có tổng cộng 9 công thức nguyên hàm cần nhớ chia làm 2 bảng

1.1 Nguyên hàm của hàm số mũ

Bảng 1 là 5 công thức nguyên hàm của hàm số mũ

1.2 Nguyên hàm của hàm logarit

Bảng 2 là 4 công thức nguyên hàm của hàm logarit tiếp theo

2. Bài tập

Bài tập 1. Tính \( \int 5e^x \,dx \).

Lời Giải

Áp dụng tính chất \( \int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx \), ta có: $ \int 5e^x \,dx = 5 \int e^x \,dx = 5e^x + C. $

Đáp án: \( 5e^x + C \).

Bài tập 2. Tìm nguyên hàm \( \int e^{3x} \,dx \).

Lời giải

Theo công thức: $ \int e^{3x} \,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C. $

Đáp án: \( \frac{e^{3x}}{3} + C \).

Bài tập 3. Hãy tính \( \int 5^x \,dx \).

Lời giải

$ \int 5^x \,dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C. $

Đáp án: \( \frac{5^x}{\ln 5} + C \)

Bài tập 4. Tính \( \int 7^{-2x} \,dx \).

Lời giải

$ \int 7^{-2x} \,dx = \frac{7^{-2x}}{-2 \ln 7} + C = -\frac{7^{-2x}}{2 \ln 7} + C. $

Đáp án: \( -\frac{7^{-2x}}{2 \ln 7} + C \).

Bài tập 5. Tính \( \int 2x e^x \,dx \).

Lời giải

Đặt \( I = \int 2x e^x \,dx \), ta nhân 2 vào công thức: $ I = 2 (x – 1)e^x + C. $

Đáp án: \( (2x – 2)e^x + C \).

Bài tập 6. Tính \( \int \ln(3x) \,dx \).

Lời giải

Đặt \( u = \ln(3x) \), ta có: $ \int \ln(3x) \,dx = x \ln(3x) – x + C. $

Đáp án: \( x \ln(3x) – x + C \).

Bài tập 6. Tính \( \int \log_5 x \,dx \).

Lời giải

$ \int \log_5 x \,dx = \frac{x \ln x – x}{\ln 5} + C. $

Đáp án: \( \frac{x \ln x – x}{\ln 5} + C \).

Bài tập 7. Tính \( \int \frac{\ln x}{x} \,dx \).

Lời giải

$ \int \frac{\ln x}{x} \,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C. $

Đáp án: \( \frac{(\ln x)^2}{2} + C \).

Bài tập 8. Tính nguyên hàm \( \int \frac{1}{x \ln(3x)} \,dx \).

Lời giải

Đặt \( u = \ln(3x) \), suy ra \( du = \frac{dx}{x \ln(3x)} \). $ \int \frac{1}{x \ln(3x)} \,dx = \ln |\ln(3x)| + C. $

Đáp án: \( \ln |\ln(3x)| + C \).