Theo bạn hình chỏm cầu là gì? Công thức tính thể tích chỏm cầu? Công thức tính diện tích xung quanh của chỏm cầu? Nếu bạn chưa trả lời được cầu hỏi thì xem bài viết chi tiết dưới đây

1. Hình chỏm là gì?

Nếu bạn dùng một mặt phẳng (α) cắt mặt cầu thì ta thu được một chỏm cầu như phần tô màu xanh trong hình vẽ

Trong đó:

• Phần mặt cầu bị cắt được gọi là mặt đáy chỏm cầu, có có dạng hình tròn và bán kính là a. Nếu mặt cắt đi qua tâm thì a có độ lớn bằng bán kính mặt cầu: a = r
• Khoảng cách từ mặt đáy tới đỉnh là chiều cao của chỏm

2. Diện tích

Diện tích chỏm cẩu hay còn gọi là diện tích xung quanh của hình chỏm cầu được tính theo công thức

S_{diện tích} = S_{diện tích xung quanh} = 2πr.h

Trong đó:

• S là diện tích hình chỏm cầu
• r là bán kính mặt cầu
• h là chiều cao tính từ mặt cắt tới đỉnh chỏm cầu (hình vẽ)

3. Thể tích chỏm cầu

Công thức tính thể tích hình chỏm cầu: $V = \pi .{h^2}.\left( {r – \frac{h}{3}} \right)$

Trong đó

• V là thể tích chỏm cầu
• h là chiều cao tính từ mặt cắt tới đỉnh chỏm cầu (hình vẽ)
• r là bán kính mặt cầu

Lưu ý: Nếu đề cho biết bán kình mặt đáy chỏm cầu là a thì công thức tính thể tích là $V = \frac{{\pi .h}}{6}.\left( {3{a^2} + {h^2}} \right)$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hãy tính diện tích hình chỏm cầu ứng với số liệu sau

a) h = 4 cm; r = 8 cm.

b) h = 1,1 cm; r = 2,3 cm

c) h = 0,5 cm; r = 6,6 cm

Hướng dẫn giải

a) theo đề:

• h = 4 cm
• r = 8 cm

Diện tích chỏm cầu: S_{diện tích} = 2πr.h = 2π.8.4 = 64π (cm²)

b) ta có:

• h = 1,1 cm
• r = 2,3 cm

Dùng công thức tính diện tích chỏm cầu: S_{chỏm cầu} = 2πr.h = 2π.2,3.1,1 = 5,06π (cm²)

c) Ta thấy:

• h = 0,5 cm
• r = 6,6 cm

Dựa vào công thức tính diện tích hình chỏm cầu: S_{chỏm cầu} = 2πr.h = 2π.6,6.0,5 = 6,6 (cm²)

Ví dụ 2: Hãy tính thể tích chỏm cầu dựa theo số liệu sau

a) h = 2 cm; r = 4 cm.

b) h = 3 cm; r = 60 mm

c) h = 15 mm; r = 2,8 cm

d) h = 3 cm; a = 8 cm

Hướng dẫn giải

a) Theo đề:

• h = 2 cm
• r = 4 cm

Vận dụng công thức tính thể tích chỏm cầu: $V = \pi .{h^2}.\left( {r – \frac{h}{3}} \right) = \pi {.2^2}.\left( {{4^2} – \frac{2}{3}} \right) = 192,68\left( {c{m^2}} \right)$

b) Ta có:

• h = 3 cm
• r = 60 mm = 6 cm

Công thức thể tích hình chỏm cầu: $V = \pi .{h^2}.\left( {r – \frac{h}{3}} \right) = \pi {.6^2}.\left( {{6^2} – \frac{3}{3}} \right) = 1260\pi \left( {c{m^2}} \right)$

c) Theo đề:

• h = 15 mm = 1,5 cm
• r = 2,8 cm

Cách tính thể tích chỏm cầu dựa vào công thức: $V = \pi .{h^2}.\left( {r – \frac{h}{3}} \right) = \pi .2,{8^2}.\left( {2,{8^2} – \frac{{1,5}}{3}} \right) = 180,78\left( {c{m^2}} \right)$

d) Theo đề

• h = 3 cm
• Bán kính mặt chỏm cầu a = 8 cm

Cách tính thể tích chỏm cầu dựa vào công thức: $V = \frac{{\pi .h}}{6}.\left( {3{a^2} + {h^2}} \right) = \frac{{\pi .3}}{6}.\left( {{{3.8}^2} + {3^2}} \right) = 315,73\left( {c{m^2}} \right)$

Ví dụ 3. Một mặt phẳng chia thể tích khối cầu theo tỉ số $\frac{7}{20}.$ Khi đó mặt phẳng chia diện tích mặt cầu theo tỉ số nào dưới đây? Cho biết chỏm cầu bán kính $r,$ chiều cao $h$ có diện tích được tính theo công thức $S=2\pi rh;$ thể tích được tính theo công thức $V=\pi {{h}^{2}}\left( r-\frac{h}{3} \right).$

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng cắt chia khối cầu bán kính $r$ thành 2 chỏm cầu có cùng bán kính $r,$ chiều cao tương ứng là ${{h}_{1}}=h;{{h}_{2}}=2r-h.$

Theo giả thiết tỷ số thể tích của hai chỏm cầu là

$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{20}\Leftrightarrow \frac{\pi h_{1}^{2}\left( r-\frac{{{h}_{1}}}{3} \right)}{\pi h_{2}^{2}\left( r-\frac{{{h}_{2}}}{3} \right)}=\frac{7}{20}\Leftrightarrow \frac{{{h}^{2}}\left( r-\frac{h}{3} \right)}{{{\left( 2r-h \right)}^{2}}\left( r-\frac{2r-h}{3} \right)}=\frac{7}{20}\Leftrightarrow h=\frac{2r}{3}.$

Khi đó tỷ số diện tích của hai chỏm cầu là $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\pi r{{h}_{1}}}{2\pi r{{h}_{2}}}=\frac{h}{2r-h}=\frac{\frac{2}{3}r}{2r-\frac{2}{3}r}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 4. Cho hai mặt cầu \( (S_1), (S_2) \) cùng bán kính \( R \) thỏa mãn tâm của \( (S_1) \) thuộc \( (S_2) \) và ngược lại tâm của \( (S_2) \) thuộc \( (S_1) \). Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi \( (S_1), (S_2) \).

Hướng dẫn giải

Thể tích phần chung chính là tổng thể tích của 2 khối chỏm cầu bằng nhau có bán kính \( R \), chiều cao $ h = \frac{R}{2}. $

Vì vậy

$V = 2 \times \pi {h^2}\left( {R – \frac{h}{3}} \right)$ $ = 2\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\left( {R – \frac{R}{6}} \right)$ $ = \frac{{5\pi {R^3}}}{{12}}.$

Qua những chia sẻ chi tiết trên đây hy vọng bạn đọc đã hiểu được chỏm cầu, công thức tính thể tích chỏm cầu cũng như diện tích chỏm cầu. Dựa vào những kiến thức này bạn vận dụng vào giảo các bài toán trong thực tế.