Nguyên hàm cơ bản là một phần quan trọng là thuộc các công thức nguyên hàm cần phải nhớ trong giải tích, đóng vai trò nền tảng trong việc tính tích phân. Việc nắm vững các nguyên hàm cơ bản sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài tập liên quan.
Công thức nguyên hàm cơ bản
Dưới đây là 12 công thức nguyên hàm cơ bản, được sắp xếp theo từng dạng phổ biến, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và áp dụng:
- \( \int 0 \,dx = C \)
- \( \int 1 \,dx = x + C \)
- \( \int x^\alpha \,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \) (với \( \alpha \neq -1 \))
- \( \int \frac{1}{x^n} \,dx = -\frac{1}{(n-1)} \cdot \frac{1}{x^{n-1}} + C \) (với \( n \geq 2 \))
- \( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx = 2\sqrt{x} + C \)
- \( \int \frac{1}{\sqrt[n]{x}} \,dx = \frac{n}{n-1} \sqrt[n]{x^{n-1}} + C \)
- \( \int \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3} x\sqrt{x} + C \)
- \( \int \sqrt[n]{x} \,dx = \frac{n}{n+1} x^n \sqrt[n]{x} + C \)
- \( \int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x| + C \)
- \( \int \frac{1}{x^2} \,dx = -\frac{1}{x} + C \)
- \( \int e^x \,dx = e^x + C \)
- \( \int A^x \,dx = \frac{A^x}{\ln A} + C \)
Bài tập nguyên hàm cơ bản
Bài tập 1. Tìm nguyên hàm $\int {{x^3}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$
Lời giải
$ \int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C. $
Kết quả: \( \frac{x^4}{4} + C \).
Bài tập 2. Tìm nguyên hàm của $\int {{x^{\frac{1}{2}}}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$
Lời giải
$ \int x^{\frac{1}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C. $
Kết quả \( \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \).
Bài tập 3. Tìm $\int {{x^{ – 2}}} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} dx$
Lời giải
$ \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C. $
Kết quả: \( -\frac{1}{x} + C \).
Bài tập 4. Tìm nguyên hàm sau
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Lời giải
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ – 3}}dx = \frac{{{x^{ – 3 + 1}}}}{{ – 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ – 2}}}}{{ – 2}} + C = – \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Bài tập 5. Hãy tìm các nguyên hàm sau
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Lời giải
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Bài tập 6. Giải bài tập sau đây
a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \).
b) Tìm \(\int {3{x^2}dx} \).
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} \).
Lời giải
a) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}\) nên \(\int {{x^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} + C} \).
Suy ra \(3\int {{x^2}dx = 3\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + C} \right) = {x^3}} + 3C\)
b) Do \(\left( {{x^3}} \right)’ = 3{x^2}\) nên \(\int {3{x^2}dx} = {x^3} + C\).
Việc học nguyên hàm cơ bản hiệu quả không chỉ dừng lại ở việc ghi nhớ công thức, mà còn cần thực hành nhiều bài tập để hiểu rõ bản chất. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ chủ đề quan trọng này!