Sau khi đã nắm vững giá trị lượng giác của góc, công thức lượng giác, và hàm số lượng giác, bước tiếp theo là phương trình lượng giác cơ bản — một phần quan trọng trong chương trình Toán THPT và thường xuất hiện nhiều trong đề thi trắc nghiệm. Bộ tài liệu Giải Bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác cơ bản (file PDF) này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách giải, vận dụng công thức, và rút ngắn thời gian làm bài.

Tài liệu tập trung vào:

• Giải các phương trình sin, cos, tan, cot cơ bản;
• Ứng dụng công thức lượng giác để biến đổi và tìm nghiệm nhanh;
• Hướng dẫn từng bước giải chi tiết, kèm mẹo nhớ công thức và xử lý các dạng bài thường gặp;
• Bao gồm đáp án đầy đủ, giúp học sinh tự kiểm tra và củng cố kiến thức hiệu quả.

Ví dụ: Một cây cầu có dạng cung $OA$$ của đồ thị hàm số $$y = 4,8 \sin \frac{x}{9}$$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở hình dưới đây:

Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $$3,6 \text{m}$$ so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Tính chiều rộng tối đa của khối hàng hóa đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu.

Lời giải

Giải phương trình $y = 0$ $ \Leftrightarrow 4,8\sin \frac{x}{9} = 0$$ \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{x}{9} = k\pi $ $ \Leftrightarrow x = k9\pi \;(k \in Z).$

Do đó đồ thị cắt trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $0; \ 9\pi; \ 18\pi; \ldots$

Vì thế $A(9\pi; 0)$ nên chiều rộng của con sóng là $OA = 9\pi \approx 28,3m.$

Xét đường thẳng $y = 3{,}6.$

Ta có $y = 4{,}8\sin \frac{x}{9} \le 4{,}8$ nên đường thẳng $y = 3{,}6$ cắt một phần đồ thị của hàm số

$y = 4{,}8\sin \frac{x}{9}$

tại hai điểm $M(x_1; 3{,}6), \ N(x_2; 3{,}6).$

Giải phương trình $4{,}8\sin \frac{x}{9} = 3{,}6 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{9} = \frac{3}{4} \quad (1),$ $x_1, x_2$ là hai nghiệm dương nhỏ nhất của (1).

$-1 \le \frac{3}{4} \le 1$ nên tồn tại một số $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ sao cho $\sin \alpha = \frac{3}{4}.$

Ta có $\sin \frac{x}{9} = \sin \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{9} = \alpha + k2\pi \\ \frac{x}{9} = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 9\alpha + k18\pi \\ x = 9\pi – 9\alpha + k18\pi \end{array} \right.$

Do $x_1; x_2 \in (0; 9\pi)$ nên $x_1 \approx 9\alpha \approx 7{,}6325; \quad x_2 \approx 9\pi – 9\alpha \approx 20{,}6418$ nên $x_2 – x_1 < 13{,}1.$

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá tối đa là 13m.