Trong giải tích, nguyên hàm lượng giác là một phần kiến thức bộ công thức nguyên hàm cần nhớ. Nguyên hàm này gồm có 14 công thức, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán liên quan đến các hàm lượng giác như sin, cos, tan, cot,…
1. Nguyên hàm lượng giác
Sau đây là 14 công thức nguyên hàm của hàm lượng giác bạn cần phải nhớ, các công thức được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao:
2. Bài tập
Bài tập 1. Tìm nguyên hàm lượng giác sau \(\int {\left( { – \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \)
Lời giải
\(\int {\left( { – \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} = – \frac{1}{4}\int {\cos xdx} = – \frac{1}{4}\sin x + C\)
Bài tập 2. Tìm \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Lời giải
\(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx – \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = 3\tan x – \left( { – \cot x} \right) + C} \)
\( = 3\tan x + \cot x + C\)
Bài tập 3. Tìm \( I = \int (\cos x)^3 \sin 8x \,dx \)
Lời giải
Biến đổi nguyên hàm ta có:
$I = \int (\cos x)^3 \sin 8x \,dx = \int \frac{(3 \cos x + \cos 3x)}{4} \sin 8x \,dx$
$= \frac{1}{4} \int (3 \cos x \sin 8x + \cos 3x \sin 8x) \,dx$
$= \frac{1}{4} \int \left( 3 \cos x \sin 8x + \cos 3x \sin 8x \right) \,dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{3}{2} (\sin 9x + \sin 7x) + \frac{1}{2} (\sin 11x + \sin 5x) \right] \,dx$
$= -\frac{1}{8} \left( \frac{3}{9} \cos 9x + \frac{3}{7} \cos 7x + \frac{1}{11} \cos 11x + \frac{1}{5} \cos 5x \right) + C$
Bài tập 4. Tìm
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)
b) \(\int {\left( {5\cos x – 3\sin x} \right)dx} \)
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)dx} \)
d) \(\int {\left( {{e^{x – 2}} – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Lời giải
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} = 2\int {{x^5}dx} + 3\int {dx} = 2\frac{{{x^6}}}{6} + 3x + C = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C\)
b) \(\int {\left( {5\cos x – 3\sin x} \right)dx} = 5\int {\cos xdx} – 3\int {\sin xdx} = 5\sin x – 3\left( { – \cos x} \right) + C\)
\( = 5\sin x + 3\cos x + C\)
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} – \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} – 2\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} – 2\ln \left| x \right| + C = \frac{1}{3}\sqrt {{x^3}} – 2\ln \left| x \right| + C\)
d) \(\int {\left( {{e^{x – 2}} – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = {e^{ – 2}}\int {{e^x}dx} – 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = {e^{ – 2}}.{e^x} – 2\left( { – \cot x} \right) + C} \) \( = {e^{x – 2}} + 2\cot x + C\)
Bài tập 5. Tìm nguyên hàm lượng giác sau $ I = \int {{{(\sin x)}^2}} {(\cos x)^4}dx$
Lời giải
$ I = \int (\sin x)^2 (\cos x)^4 dx = \frac{1}{4} \int (\sin 2x)^2 (\cos x)^2 dx $ $ = \frac{1}{16} \int (1 – \cos 4x)(1 + \cos 2x)dx = \frac{1}{16} \int (1 + \cos 2x – \cos 4x – \cos 2x \cos 4x) dx $ $ = \frac{1}{16} \int \left(1 + \cos 2x – \cos 4x – \frac{1}{2} (\cos 6x + \cos 2x) \right) dx $ $ = \frac{1}{{32}}\int {(2 + \cos 2x – 2\cos 4x – \cos 6x)} dx$ $ = \frac{1}{{32}}\left( {2x + \frac{{\sin 2x}}{2} – \frac{{\sin 4x}}{2} – \frac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C$
Bài tập 6. Tìm
a) \(\int {x{{\left( {2x – 3} \right)}^2}dx} \)
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)
Lời giải
a) \(\int {x{{\left( {2x – 3} \right)}^2}dx} = \int {x\left( {4{x^2} – 12x + 9} \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} – 12{x^2} + 9x} \right)dx} \)
\( = 4\int {{x^3}dx} – 12\int {{x^2}dx} + 9\int {xdx} = 4.\frac{{{x^4}}}{4} – 12.\frac{{{x^3}}}{3} + 9.\frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^4} – 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C\)
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}dx = \frac{1}{2}\int {dx} – \frac{1}{2}\int {\cos xdx} = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\sin x + C} \)
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} – \int {dx} = \tan x – x + C} \)
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx = \int {{{\left( {{2^3}} \right)}^x}{{.3}^x}dx} = \int {{8^x}{{.3}^x}dx} = \int {{{24}^x}dx} = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C\)
Bài tập 7. Hãy tìm các nguyên hàm của hàm số lượng giác sau
Lời giải
