Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là gì? Nó có đặc điểm như thế nào? Tất cả sẽ được giải đáp trong bài viết này

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Định nghĩa: Nếu như có một vecto $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ mà vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước thì ta nói $\overrightarrow n $ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

Theo định nghĩa trên thì:

  • Mỗi mặt phẳng sẽ có vô số vecto pháp tuyến nhưng các vecto này luôn cùng phương với nhau.
  • Nếu như ta biết được vecto pháp tuyến và một điểm nằm trong mặt phẳng thì ta hoàn toàn xác định được phương trình mặt phẳng đó.
  • Ngoài $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q), vecto này còn là vecto pháp tuyến của vô số mặt phẳng khác, các mặt phẳng này song song với mặt phẳng (P).

Nếu như biết phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 thì ta chỉ ngay được vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n $ = ( A; B; C)

Ví dụ: Cho phương trình mặt phẳng (α): 2x + 3y – z + 5 = 0. Chọn đáp án đúng khi nói về vecto chỉ phương của (α)?

A. $\overrightarrow n $ = ( – 2; 3; 5)

B. $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; 5)

C. $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; – 1)

D. $\overrightarrow n $ = ( 3; – 1; 5)

Lời giải

Dựa theo lý thuyết trên, ta dễ dàng chỉ ra được vecto pháp tuyến của (α) là $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; – 1)

2. Vecto chỉ phương của mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu như có một vecto $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ mà song song hoặc nằm trong mặt phẳng (Q) cho trước thì ta nói $\overrightarrow u $ là vecto chỉ phương của mặt phẳng (Q).

Vecto chỉ phương của mặt phẳng
Vecto chỉ phương của mặt phẳng

Từ định nghĩa trên cho ta thấy:

  • Mỗi mặt phẳng sẽ có vô số vecto chỉ phương.
  • Các vecto chỉ phương này đồng thời vuông góc với vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • Theo kiến thức tích có hướng thì nếu biết 2 vecto chỉ phương của (Q) (hai vecto này không cùng phương) thì ta tìm được vecto pháp tuyến

Ví dụ: Một mặt phẳng (Q) cho trước biết cặp vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} $ = ( 1; 2; – 1) và $\overrightarrow {{u_2}} $ = ( – 1; 0; 1). Hãy tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Lời giải

Dựa theo lý thuyết trên, vecto pháp tuyến chính bằng tích có hướng của 2 vecto chỉ phương mà đề bài cho

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left( {\left| \begin{array}{l} 2\,\, – 1\\ 0\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} – 1\,\,\,\,\,\,1\\ \,\,\,1\,\,\, – 1 \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} \,\,\,1\,\,\,2\\ – 1\,\,\,0 \end{array} \right|} \right)$ = ( 2; 0; 2)

Ta thấy $\overrightarrow n $ = ( 1; 0; 1) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

Bài tập

Bài tập 1 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 30)

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; – 2;3} \right),B\left( { – 3;0;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải

Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { – 4;2; – 2} \right)\).

Bài tập 2 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 31)

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)

Bài tập 3 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 31)

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Lời giải

a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.

b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Bài tập 4 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 31)

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1; – 2;1} \right),B\left( { – 2;1;0} \right),C\left( { – 2;3;2} \right)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3;3; – 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { – 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; – 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} – 1\;\; – 3\\\;\;1\;\; – 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} – 3\;\;3\\ – 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; – 6} \right)\)

Bài tập 5 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 31)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( \alpha \right)\).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Lời giải

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x – {x_0};y – {y_0};z – {z_0}} \right)\). Vì M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} \).

Suy ra: \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\).

Bài tập 6 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 33)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2 = 0\).

a) Điểm \(A\left( { – 2;1;0} \right)\) có thuộc \(\left( \alpha \right)\) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải

a) Vì \( – 2 + 2 = 0\) nên điểm \(A\left( { – 2;1;0} \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Bài tập 7 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 33)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow v = \left( {a’;b’;c’} \right)\).

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải

a) Vì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Do đó, \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {bc’ – b’c;ca’ – c’a;ab’ – a’b} \right)\).

b) Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) và đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\(\left( {bc’ – b’c} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {ca’ – c’a} \right)\left( {y – {y_0}} \right) + \left( {ab’ – a’b} \right)\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)

Bài tập 8 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 34)

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right),B\left( {4;1;2} \right),C\left( {2;3;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Lời giải

Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).

Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} \left( { – 2;2; – 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;0; – 2} \right)\)

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) – 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2z – 3 = 0\)

Bài tập 9 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 34)

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { – 1;3;4} \right),C\left( {2; – 1;2} \right)\)

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải

a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, – 3; – 1} \right)\).

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, – 3; – 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ – 3}&{ – 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\{ – 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&1\\1&{ – 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; – 1;5} \right)\)

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; – 1;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2\left( {x – 1} \right) – \left( {y – 2} \right) + 5\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 5z – 15 = 0\).

Bài tập 10 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 34)

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).

b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).

c) Vị trí \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?

Lời giải

a) Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\)

Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { – 1;1;0} \right)\)

Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { – 1; – 1; – 1} \right)\)

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { – 2;0; – 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { – 2; – 2; – 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.

c) Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { – 2;0; – 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { – 2; – 2; – 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).

Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 2}\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&0\\{ – 2}&{ – 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 2; – 2;4} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { – 2; – 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { – 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:

\( – 2\left( {x + 1} \right) – 2\left( {y – 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y – 1 – 2z = 0 \Leftrightarrow x + y – 2z = 0\) (1)

c) Với \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$

Vậy \(M\left( {\cos t – \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.

Bài tập 11 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 37)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng.

Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song hoặc trùng nhau thì các vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) có mối quan hệ gì?

Lời giải

Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) song song song hoặc trùng nhau. Do đó, các vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) cùng phương với nhau.

Bài tập 11 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 37)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):5x + 2y – 4z + 6 = 0\) và \(\left( \beta \right):10x + 4y – 2z + 12 = 0\)

a) Hỏi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {1; – 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhưng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua \(M\left( {1; – 3;5} \right)\) và song song với \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; – 4} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; – 2} \right)\).

Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ – 4}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.

b) Vì \(5.1 – 3.2 – 4.5 + 6 = 5 – 6 – 20 + 6 = – 15 \ne 0\) nên điểm \(M\left( {1; – 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Vì \(10.1 + 4.\left( { – 3} \right) – 2.5 + 12 = 0\) nên điểm \(M\left( {1; – 3;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Vì mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; – 4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(M\left( {1; – 3;5} \right)\) thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

\(5\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) – 4\left( {z – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y – 4z + 21 = 0\)

Bài tập 12 (trích sgk KNTT toán 12 – Trang 37)

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z – 27 = 0\).

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Lời giải

a) Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_0};{y_0};{z_0}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 27. Khi đó, \({x_0} + {y_0} + {z_0} = 27\). Suy ra, điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_0};y = {y_0},z = {z_0}\) vào phương trình \(x + y + z – 27 = 0\) ta có:

${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-27=0\Leftrightarrow 27-27=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z – 27 = 0\).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z – 27 = 0\).

b) Xét phương trình mặt phẳng (M): \(x + y + z – 24 = 0\)

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_1};{y_1};{z_1}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 24. Khi đó, \({x_1} + {y_1} + {z_1} = 24\). Khi đó, điểm \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_1};y = {y_1},z = {z_1}\) vào phương trình \(x + y + z – 24 = 0\) ta có:

${{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}-24=0\Leftrightarrow 24-24=0\left( L \right)$

Do đó, điểm \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z – 24 = 0\).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 24 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng (M).

Xét phương trình mặt phẳng (N): \(x + y + z – 20 = 0\)

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_2};{y_2};{z_2}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 20. Khi đó, \({x_2} + {y_2} + {z_2} = 20\). Khi đó, điểm \(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_2};y = {y_2},z = {z_2}\) vào phương trình \(x + y + z – 20 = 0\) ta có:

${{x}_{2}}+{{y}_{2}}+{{z}_{2}}-20=0\Leftrightarrow 20-20=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm \(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thuộc mặt phẳng (N).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 20 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (N).

Theo a, các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng (P) có phương trình \(x + y + z – 27 = 0\).

Ta thấy ba mặt phẳng (M), (N), (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\) và \( – 24 \ne – 20 \ne – 27\) nên ba mặt phẳng (M), (N), (P) song song với nhau.

Từ đó ta có kết luận: Tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Trên đây là những chia sẻ về vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tốt hình học lớp 12. Đừng quên quay lại luyenthi.org để đón xem những chủ đề hay tiếp theo nhé