Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một trong những dạng toán hình quan trọng thuộc toán lớp 9. Mỗi công thức, mỗi bài toán thường xuyên xuất hiện trong bài kiểm tra trên lớp, bài kiểm tra học kì và bài thi chuyển cấp. Hôm nay Diện Tích biên soạn bài viết này với mong muốn giúp bạn tìm hiểu kĩ hơn về chủ đề này. Mời bạn đón xem

A. Những hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông có 5 hệ thức cần nhớ là:

1. $A{B^2} = BH.BC$
2. $A{C^2} = CH.BC$
3. $AB.AC = BC.AH$
4. $H{A^2} = HB.HC$
5. $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$

Theo định lý pytago với tam giác vuông (như hình), ta suy ra 3 hệ thức quan trọng:

1. $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$
2. $A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}$
3. $A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}$

B. Phân dạng bài tập

Ví dụ 1: Cho một tam giác ΔABC có BC = 7,5 cm, AC = 4,5 cm và AB = 6cm.

a/ Tìm đường cao AH và độ lớn các góc $\widehat B$, $\widehat C$.

b/ Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Định hướng giải bài toán:

Gợi động cơ:

• Để tính được góc $\widehat B$, $\widehat C$ và đường cao AH thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
• Để chứng minh tam giác ABC vuông cần áp dụng định lí nào?

Từ đó giáo viên đặt vấn đề dẫn học sinh tìm đến các hệ thức để giải quyết bài toán.

Lời giải cụ thể

a/ Ta có 62 + 4,52 = 7,52 nên tam giác ABC vuông tại A.

Do đó tan B = $\frac{{4,5}}{6}$ = 0,75

Suy ra $\widehat B$ $ \approx $ 370 và $\widehat C = {90^0} – \widehat B$ $ \approx $530

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A ,ta có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$

Nên $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{20,25}}$ Do đó $A{H^2} = \frac{{36.20,25}}{{36 + 20,25}} = 12,96$

Suy ra AH = 3,6 (cm)

b/ Để ${S_{ABC}} = {S_{MBC}}$ thì M phải cách BC một khoảng bằng AH. Do đó M phải nằm trên hai đường thẳng song song với BC cùng cách BC một khoảng bằng 3,6 cm

* Nhận xét:

Ở bài toán này ta thấy nếu giáo viên không đặt vấn đề ngay từ đầu là chứng minh tam giác ABC vuông, thì học sinh khó đưa ra lời giải chính xác. Do đó đối với dạng toán này giáo viên cần khéo léo nhắc nhỡ học sinh phải chứng minh tam giác là vuông, nếu đề bài chưa cho, để tránh tình trạng học sinh vận dụng sai lầm rồi dẫn đến kết quả sai.

Tuy nhiên trong lời giải trên khi tính AH ta áp dụng hệ thức 4 về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Nhưng khi giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh có thể tính AH theo hệ thức 3. Bởi vì hai cạnh góc vuông và cạnh huyền đã biết.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A <=>AB² = BH.BC

Lời giải

Ta chứng minh hai điều :

a/ $\Delta $ABC vuông tại A, AH là đường cao $ \Rightarrow $ AB² = BH.BC

Xét tam giác vuông ABC và HBA ta có góc B chung , nên

$\Delta ABC \sim \Delta HBA$ $ \Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC$

b/ BH . BC = AB², AH $ \bot $BC $ \Rightarrow $ tam giác ABC vuông tại A

Xét hai tam giác ABC và HBA, ta thấy :

Góc B chung ; $\frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{BA}}{{BC}}$ $ \Rightarrow \Delta ABC \sim HBA$

Mà tam giác HBA vuông tại H (AH $ \bot $BC) nên tam giác ABC vuông tại A.

Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy nội dung chủ yếu là kiến thức lí thuyết để vận dụng chứng minh các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác. Tuy nhiên vấn đề chứng minh khó khăn ở đây là học sinh phải nắm bắt đước kiến thức cũ có liên quan. Đó là tam giác đồng dạng.

Vấn đề ngược lại của bài toán này đó là phần chứng minh ở câu b.Ta thấy ở bài toán này đòi hỏi giáo viên phải khéo léo trong cách phân tích vấn đề ngược lại.Tuy nhiên để học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề là một vấn đề còn gặp nhiều khó khăn. Do đó trong quá trình chứng minh cần lưu ý tính chất hai chiều như bài toán đã nêu.

Ví dụ 3: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 30cm, đường cao AH = 24cm. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại D. Tính độ dài BD.

    Giải

– Áp dụng định lý Pitago cho ΔABH =>  BH = 18cm.

Áp dụng hệ thức AB² = BH.BC => BC = $\frac{{A{B^2}}}{{BH}}$ = $\frac{{{{30}^2}}}{{18}}$ = 50cm

*Cách 1: Chứng minh ΔBAD vuông tại B (có$\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}$, mà $\widehat {DBH} = \widehat {ACB}$ (do AC//BD) nên $\widehat {ABC} + \widehat {DBH} = {90^0} = \widehat {ABD}$)

Áp dụng hệ thức: BH² = AH.HD  $ \Rightarrow $ HD = $\frac{{B{H^2}}}{{AH}}$ = $\frac{{{{18}^2}}}{{24}}$ = 13.5

$ \Rightarrow $ AD = AH + HD =24+13.5=37.5 (cm)

– Áp dụng hệ thức: BD² = HD.AD   $ \Rightarrow $ BD = 22,5cm

*Cách 2: Chứng minh ΔHBD đồng dạng ΔHAB => BD = 22,5cm

*Nhận xét:

• Ở cả 2 cách giáo viên cần định hướng cho học sinh tính BH và BC để làm cơ sở cho việc tính toán BD.
• Đối với cách 1 thì chú ý học sinh phải chứng tỏ được tam giác ABD là tam giác vuông tại B thì mới áp dụng hệ thức lượng được.
• Ở cách 2 thì cho học sinh nhìn hình và suy đoán các hệ thức , từ đó có thể suy đoán các cặp đoạn thẳng tỉ lệ và khi đó áp dụng hợp lý để chứng minh $\Delta $HBD đồng dạng với ΔHAB và từ đó tính được BD.
• Thông qua việc giải các bài tập dạng này tập cho học sinh biết lựa chọn phương án để tính toán cho thích hợp trong từng bài, đặc biệt sẽ thiên về khả năng tư duy để tìm lời giải bài toán.

Những công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ở trên là rất quan trọng nhất là với học sinh lớp 9. Do đó các bạn phải có thái độ học nghiêm túc ngay từ đầu để nhớ chính xác mỗi công thức bởi mỗi công thức sẽ giúp ta giải các bài toán dể hoặc khó trở nên dễ dàng hơn cho kết quả chính xác. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập cũng như tra cứu.